Միավոր քառակուսի

Միավոր քառակուսի իրական հարթության վրա:

Միավոր քառակուսի, քառակուսի, որի կողմը միավոր հատվածն է։ Միավոր քառակուսին հանդիսանում է մակերեսի չափման միավոր։ Երբեմն պահանջվում է, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում միավոր քառակուսու ձախ ներքևի գագաթը գտնվի կոորդինատների սկզբնակետում, իսկ քառակուսու կողմերը զուգահեռ լինեն կոորդինատային առանցքներին։ Այդ դեպքում քառակուսու գագաթները կունենան $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ և $(0,1)$ կոորդինատներ։

Սահմանում

Հաճախ միավոր քառակուսի ասելով ենթադրում են կամայական քառակուսի, որի կողմը 1 է։

Եթե տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, ապա այս գաղափարը կիրառվում է ավելի լայն իմաստով և միավոր քառակուսի ասելով ի նկատի ունեն այն կետերի բազմությունը, որոնց (x ,y) կոորդինատները ընկած է $[0;1]$միջակայքում։

${\begin{cases}0\leq x\leq 1\\0\leq y\leq 1\end{cases}}$.

Այլ կերպ ասած, միավոր քառակուսին դա I միավոր հատվածի՝ $[0;1]$, Դեկարդյան արտադրյալն է I × I ։

Կոմպլեքս հարթության մեջ միավոր քառակուսի ասելով՝ հասկանում ենք այն քառակուսին, որի գագաթների կոորդինատները ընդունում են 0, 1, i և 1 + i կոմպլեքս արժեքներ։

Մակերեսի միավոր

Միավոր քառակուսին հանդիսանում է պատկերի մակերեսի չափման միավոր։ Չափել պատկերի մակերեսը, նշանակում է գտնել պատկերի մակերեսի և միավոր քառակուսու մակերեսի հարաբերությունը, այսինքն՝ գտնել, թե քանի հատ միավոր քառակուսի կտեղավորվի պատկերի մեջ։ Բոլոր հիմքերը կան ենթադրելու, որ Հին Բաբելոնում հենց այդպես էլ որոշել են պատկերի մակերեսը։

Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» աշխատությունում չկար երկարության միավոր, այդ իսկ պատճառով չկար նաև միավոր քառակուսու գաղափար։ Էվկլիդեսը մակերեսը չէր չափում միավորներով, այլ դրա փոխարեն, դիտարկում էր մակերեսների հարաբերությունը։

Հատկություններ

• Միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է 1-ի, պարագիծը՝ 4-ի, անկյունագիծը՝ ${\sqrt {2}}$:
• ($L^{\infty }$) Համաչափ նորմայի իմաստով, միավոր քառակուսին հանդիսանում է 1 տրամագծով «շրջան», այսինքն կետերի բազմություն, որոնք (1/2, 1/2) կոորդինատով կետից հեռացված են ոչ ավել քան 1/2 միավոր։
• Կանտորը ապացուցեց, որ գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն միավոր հատվածի և միավոր քառակուսու միջև։ Այս փաստն այնքան հակասեց նրա ներքին զգացողությանը, որ 1877 թվականին Կանտորը Ռ․ Դեդեկինդին ուղված նամակում գրեց․

«Ես տեսնում եմ, բայց չեմ հավատում»։

• 1890 թվականին Ջ․ Պեանոյի կողմից իրականացվեց շատ ավելի զարմանալի փաստի հայտնագործում։ Պարզվեց, որ գոյություն ունի միավոր հատվածի անընդհատ արտապատկերումը քառակուսու վրա։ Այդպիսի արտապատկերման օրինակ հանդիսացավ Պեանոյի կորը, որը տարածությունը կորով լրացնելու առաջին օրինակն էր։ Պեանոյի կորը քառակուսու վրա տվեց միավոր հատվածի այնպիսի արտապատկերում, որ քառակուսու յուրաքանչյուր կետի համար գոյություն ունեցավ համապատասխան կետ հատվածից։
• Այնուամենայնիվ, գոյություն չունի հատվածի փոխմիարժեք անընդհատ արտապատկերում քառակուսու վրա։ Պեանոյի կորը ունի բազմապատիկ թվով կետեր, այսինքն այն տրված քառակուսու որոշ կետերով անցնում է մեկ անգամից ավել, այսինքն Պեանոյի կորը չի տալիս փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Իրականում հեշտ է ապացուցել, որ հատվածը և քառակուսին հոմեոմորֆ չեն, որից էլ հետևում է, որ անհնար է խուսափել բազմապատիկ թվով կետերից։

Բաց հիմնախնդիր

Հայտնի չէ՝ արդյոք գոյություն ունի մակերևույթի վրա այնպիսի կետ, որի հեռավորությունը միավոր հատվածի ցանկացած գագաթից լինի ռացիոնալ թիվ (տեղեկությունը մինչև 2011 թվականի տվյալներով է)։ Թեպետ հայտնի է, որ գոյություն չունի այդպիսի կետ քառակուսու սահմանին։